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适度数学推演 提升理解水平..5151doc

适度数学推演 提升理解水平
作者:朱洁芬 文章来源:教育资源库 点击数: 更新时间:2015-11-9

  作者:如东县掘港小学 朱洁芬

  摘  要:新一轮数学课程改革以来,小学数学教学比较注重借助实际操作、生活事理、图形直观等手段帮助学生理解数学。这种相对忽略数学知识本质和联系的逻辑推演,影响了学生理解的深度。教学中可以根据学生的年龄特点和知识基础,采用适切剖析、引导探究、经历“再创造”等方式,循序渐进培养学生的推演能力,不断提升学生数学理解的层次水平。

  关键词:适度推演  理解  数学化  自然  合理  多样

  新课程实施以来,小学数学教学更贴近学生的生活现实,注重通过实际操作、生活事理、图形直观等帮助学生理解数学。这本符合学生的认知规律,也确实在一定程度上促进了学生的理解。然而在教学实践中我们不难发现,有些教师似乎又走向了另一个极端,那就是过度看重生活经验、形象工具等之于数学学习的价值,致使学生的理解止步于较低的层次。

  着名数学教育家赫斯考威克斯提出“理解的类型层次说”认为,数学理解有直观理解、程序理解、抽象理解、形式理解等不同层次。显然,仅仅基于经验、形象的理解是一种浅层次的直观性理解。笔者认为,随着数学学习的深入,学生所积累的数学知识和方法增多,教学中很有必要进一步关注学生的“数学现实”,适当借助知识内部的逻辑推演,激活知识内在的联系,从而驱动学生的理解走向深入。

  下面试结合“数的运算”教学中的几个案例,谈谈对“推演”策略的理解和使用。

  一、适切剖析,感悟知识衍生的自然性

  在二年级“认识除法竖式”教学中,教师一般先出示6个苹果。操作:每2个放一盘。提问:可以放几盘?引导学生先列出横式,并说说为什么用除法计算。然后教学除法竖式的写法,并联系上面分苹果的操作,引导学生理解被除数表示要分的总个数,除数表示每盘分几个,商表示分了几盘,被除数下面的数表示一共分掉了几个,余数表示分后剩下的,如果是0就表示分完了。虽然有直观操作支撑,但在随后的巩固练习阶段可以发现,不少学生仍然不知所措,特别是对被除数下方还要再写一个“6”很不理解。

  从加法、减法、乘法过渡到除法竖式学习,对学生来说常常是一个挑战。而上述难点的解决凭借操作,并经由表象构建新的算法模型,符合学生的认知规律。但问题在于,一些教师常常认为只要学生操作了,自然会理解其中的道理。从上面的教学效果看,这里的操作似乎并没有使学生获得真正的理解。为了更好地解决问题,有老师在此基础上又进一步考虑调整教材的编排顺序,将有余数的除法前移,利用“一般式”理解“特殊式”,但似乎也收效甚微。

  为了摸清学生的想法,笔者曾多次在新课后与学生访谈,了解他们的困惑。结果发现,不少学生提出他们不习惯除法竖式的写法,更不能理解计算过程中为什么还需要乘和减的参与,商为什么要写在被除数的上面,等等。看来,在上述教学过程中,操作性工具的介入,仅仅使学生的理解到达较为肤浅的层次,如直观性理解、程序性理解等。访谈结果表明,学生对除法竖式的掌握还需要深层的理解作支撑,而这种深层的理解需要教师改变固有的思维方式,由对操作性工具的关注调整到对数学内部新旧知识之间逻辑推演的关注,通过推演呈现知识的衍生过程,将学生对数学的理解提升到更高的层次。

  从除法竖式产生的内部逻辑来看,除法之所以与减法有联系是因为它们都起源于“分”,只是除法是一种特殊的“分”,即分得同样多,显然,推演除法竖式时一个易于理解的逻辑起点应该是同数连减。为了给同数连减留下位置,记录所“分”次数的商就调整到被除数上面。此外,根据减法的运算性质,同数连减又可以转化为先同数连加然后一起减,继而同数连加又可以升级为乘法,这样除法竖式的核心部分就凝聚成一个先乘后减的过程了。不过,这样的推演有一定的难度,低年段学生更不容易发现,需要教师直接剖析,引导学生有意义的接受。同时考虑到低年级学生的思维特点,这个抽象的剖析过程应该与操作有机整合,边操作边推演,用推演引领操作,相信符合学生思维发展水平的适切剖析能将学生带到理解的高境界。

  二、引导深究,发现规律揭示的合理性

  在四年级“乘法分配律”教学中,教师一般先呈现问题情境:服装商店短袖衫每件32元,裤子每条45元,夹克衫每件65元。一位顾客要买5件夹克衫和5条裤子。一共要付多少元?引导学生分析数量关系,得到两种不同的算法,写成一个等式。接着联系上面的购物情境理解两种算法内在的不同,一种是分开算,一种是配套算。但不管哪一种方法都算的是5件夹克衫和5条裤子的总价钱,所以这个等式成立。然后,让学生再写几组这样的等式,算一算得数是否相等,思考有什么发现。最后引导学生比较几组等式在结构上的特点,归纳揭示乘法分配律。在随后的巩固练习中,学生对标准式掌握较好,但在变式的时候错误率明显升高,后续简便计算时常将乘法分配律与乘法结合律混淆,等等。

  与加法和乘法交换律、结合律相比,乘法分配律同时涉及到加法和乘法两种运算,结构复杂,形式多变,应用广泛而灵活。是学生最难掌握的定律之一。为了突破这个难点,新教材改革了传统教材过于形式化的倾向,让乘法分配律与儿童的生活经验对接,让儿童借助生活事理理解算理,这是一种进步。从上述教学效果看,有了生活事理的支撑,使学生借助直观对乘法分配律获得了一定程度的理解。但教学不能仅仅停留于这样的层次,事实上这种浅层次的理解也没有从根本上解决问题。后续的变式应用、综合应用甚至初中阶段代数学习中提取公因式、因式分解等拓展性应用等都需要学生对乘法分配律获得更为深入的理解。笔者也曾在新课结束后随机采访有关学生,询问他们还有哪些问题,他们提出的问题有:分开算的时候有2个“5”,为什么合起来算的时候只剩下1个“5”?两种算法不同,为什么结果却是相同的?为什么叫作“乘法分配律”?“分”和“配”是什么意思?乘法分配律与乘法结合律有什么不同?……可见,虽然有事理性解释作支撑,但学生对等式内在的合理性仍心存疑惑。为了加深理解,平时教学中,笔者也常看到有教师想到进一步拓展情境,由购物到种花、栽树、贴瓷砖等,但都没能从根本上解决问题。看来,这种深层的理解不仅需要着眼数学的外部,寻找事理性解释,更需要关注数学的内部,寻找知识生长的逻辑。

  运算的意义是运算律存在的基础,运算律是运算意义的拓展和延伸。乘法分配律是运算律的一种,显然,乘法分配律的本源是乘法和加法的意义,深入理解乘法分配律最关键的是要引导学生推演外在的结构形式与内在的运算意义之间的关系,透过形式化的表象,触摸内在的规律性联系。具体教学时,可以通过追问引导学生依据乘法和加法的意义,对等式进行深究、推演:

  (65+45)×5=(65+45)+(65+45)+(65+45)+(65+45)+(65+45)=(65+65+65+65+65)+(45+45+45+45+45)=65×5+45×5

  反之,亦是如此。相信经过这样的推演,定能有效提升等式成立的可信度,事实上这也正是乘法分配律

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